## 华容道布局

### 合法布局定义

+ 棋盘大小为4 x 5

+ 棋子为2 x 2，2 x 1（1 x 2），1 x 1三种

+ 棋子间不能重叠，且至少存在两个空格

+ 有且仅有一个2 x 2块，其他类型不限定

  *（合法的布局必须满足以上四点）*

  合法华容道布局共有29334498种


### 标准情况与非标准情况

标准布局：存在5个2 x 1（或1 x 2）和4个1 x 1棋子的合法华容道布局（363480种）

非标准布局：除标准布局外的全部合法华容道布局（28971018种）


### 合法布局举例：

<img src="/images/legal_1+2.png" alt="legal_1+2" style="zoom: 40%;" />

<img src="/images/legal_3+4.png" alt="legal_3+4" style="zoom: 40%;" />


### 非法布局举例：

<img src="/images/illegal_1+2.png" alt="illegal_1+2" style="zoom: 40%;" />

<img src="/images/illegal_3+4.png" alt="illegal_3+4" style="zoom: 40%;" />

**错误原因：**

+ 缺少2 x 2块

+ 仅有一个空格

+ 存在两个2 x 2块

+ 存在3 x 1块



## 布局间的关系

+ 移动原则：棋子只能平行移动，不能进行旋转；

+ **一步**：某一棋子做任意次移动的过程（或结果）；

+ **子布局**：某一布局通过一步移动可以得到的布局称为子布局；

+ **相邻布局**：两布局互为对方子布局时，两者为相邻布局；

性质：若布局A是布局B的子布局，则同时必有布局B是布局A的子布局；


### 步的举例
<img src="/images/step_exp_1.png" alt="step_exp_1" style="zoom: 40%;" />

<img src="/images/step_exp_2.png" alt="step_exp_2" style="zoom:40%;" />

<img src="/images/step_exp_3.png" alt="step_exp_3" style="zoom:40%;" />



## 分类

### 布局id

合法布局共有29334498种，将它们从小到大排列，进而得到唯一的id(0 ~ 29334497)；


### 摆列方式分类

**2 x 1 与 1 x 2的数量**

将2 x 1（1 x 2）的数量称为jiang_num；

由于至少存在两个空格，于是有`0 ≤ jiang_num ≤ 7`

可分为七种情况：

| jiang_num | COUNT |
| :-: | :-: |
| 0 |  786228 |
| 1 | 4190464 |
| 2 | 8729454 |
| 3 | 9090662 |
| 4 | 4995328 |
| 5 | 1381224 |
| 6 |  157630 |
| 7 |    3508 |


**1 x 1块的数量**

将1 x 1的数量称为bing_num，结合jiang_num进行分类；

由于至少存在两个空格，于是有`0 ≤ bing_num ≤ (14 - jiang_num * 2)`

据此可分为64种情况：

[64种分类的元素数量](./jiang_bing_count.md)


**2 x 1与1 x 2块的方向**

进而，将2 x 1块的数量称为style_num，则1 x 2块的数量为(jiang_num - style_num)，于是有`0 ≤ style_num ≤ jiang_num`

此时可分出203种情况：

[203种分类的元素数量](./style_count.md)

（注意不存在 *jiang_num-bing_num-style_num = 7-0-0* ，即七竖将的情况）


### 群

定义：群是有限个不同布局的集合，该集合中全部布局都可以由其中任一布局经过有限次移动得到；

性质1：任意一个布局无论如何移动，其结果仍在该群内；

性质2：只需群中任意一个布局，即可复原出群中的所有元素；

性质3：群是封闭的，群中所有元素无序且互异，同时构成一个关系网；

统计：29334498种布局可拆分出25422个群，其中元素数量存在两极分化现象；一般情况下，布局的空格增加，其所在群的数量会急剧上升；

[群的数量统计](./group_num.md)


### 按群继续分类

对于一个特定的 *jiang_num-bing_num-style_num* 分组，可拆分出n个群；将分出的群按元素数量从大到小排列，若存在元素数量相同的群，则取其中的最小元素排序；对这些群进行编号得0 ~ (n - 1) 共n个群，编号记为group_num；

因而对于某一群，存在一个唯一编号  *jiang_num-bing_num-style_num-group_num* ；由于群中的元素个数是确定的，将其中的元素按编码从小到大排列，其中的元素可得唯一编号group_index；

所以，对于任意布局，可得唯一编号 *jiang_num-bing_num-style_num-group_num-group_index*；

[群包含的元素数量统计](./group_size.md)



## 层级关系

### 基本定义

**最少步数**：当布局A和布局B处于同一个群时，从布局A移动到B所需最少的步数，该数值存在且是确定的；

性质：布局A到B的最少步数与布局B到A的最少步数必定相同；

**最短路径**：从布局A到布局B，所有满足最少步数的路径（最少路径可能不止一条）；

**最远步数**：布局A到它所在群中任一布局均存在一最少步数，其中最大的最少步数称为最远步数；

**最远布局**：布局A到布局B的最少步数为最远步数时，称布局B为布局A的最远布局（一般情况下不止一个）；

（标准华容道中不存在最远布局退化的情况，即最远步数至少为1）

**最少步解**：布局A所在群中存在一布局S，满足2 x 2方块在棋盘的最下方中间（即2 x 2块所在位置编号为13，亦或编码以D开头），记A到S的最少步数为n，此时不存在其他任何满足以上条件的S‘使得最少步数小于n，则称S为布局A的最少步解，n为最少步解的步数（亦简称为最少步）；

**解**：布局A所在群中存在一布局S满足2 x 2方块在棋盘的最下方中间，且有A到S的任意最短路径中均不存在符合2 x 2方块在棋盘的最下方中间的布局，此时称S为布局A的解；

性质：布局的解可能是空集；最少步解属于解的子集（特定条件下两者可以相同）；


### 层模型

表述：存在一起始布局A，从它开始衍生出有限个布局，每个布局抽象为一个节点，同时称A为根节点；由于任一由A衍生出布局到根节点存在一个确定的最少步数，将其称之为到根节点的距离；将所有距离相同的布局称为一个层，层内元素无序且互异，根节点所在层称为第0层，之后依次排列可得有限个层；

记排列的最后一层为第n层，则共有n + 1个层（包括第0层）；

性质1：所有层中的元素集合即为根节点所在的群；

性质2：某一节点所在层数为其到根节点的最少步数；

性质3：若最后一层为第n层，则最远步数为n，且第n层的所有元素均为最远布局；


### 网模型

未完待续...