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6.3 KiB

华容道布局

合法布局定义

  • 棋盘大小为4 x 5

  • 棋子为2 x 2,2 x 1(1 x 2),1 x 1三种

  • 棋子间不能重叠,且至少存在两个空格

  • 有且仅有一个2 x 2块,其他类型不限定

    (合法的布局必须满足以上四点)

    合法华容道布局共有29334498种

标准情况与非标准情况

标准布局:存在5个2 x 1(或1 x 2)和4个1 x 1棋子的合法华容道布局(363480种)

非标准布局:除标准布局外的全部合法华容道布局(28971018种)

合法布局举例:

legal_1+2

legal_3+4

非法布局举例:

illegal_1+2

illegal_3+4

错误原因:

  • 缺少2 x 2块

  • 仅有一个空格

  • 存在两个2 x 2块

  • 存在3 x 1块

布局间的关系

  • 移动原则:棋子只能平行移动,不能进行旋转;

  • 一步:某一棋子做任意次移动的过程(或结果);

  • 子布局:某一布局通过一步移动可以得到的布局称为子布局;

  • 相邻布局:两布局互为对方子布局时,两者为相邻布局;

性质:若布局A是布局B的子布局,则同时必有布局B是布局A的子布局;

步的举例

step_exp_1

step_exp_2

step_exp_3

分类

布局id

合法布局共有29334498种,将它们从小到大排列,进而得到唯一的id(0 ~ 29334497);

摆列方式分类

2 x 1 与 1 x 2的数量

将2 x 1(1 x 2)的数量称为jiang_num;

由于至少存在两个空格,于是有0 ≤ jiang_num ≤ 7

可分为七种情况:

jiang_num COUNT
0 786228
1 4190464
2 8729454
3 9090662
4 4995328
5 1381224
6 157630
7 3508

1 x 1块的数量

将1 x 1的数量称为bing_num,结合jiang_num进行分类;

由于至少存在两个空格,于是有0 ≤ bing_num ≤ (14 - jiang_num * 2)

据此可分为64种情况:

64种分类的元素数量

2 x 1与1 x 2块的方向

进而,将2 x 1块的数量称为style_num,则1 x 2块的数量为(jiang_num - style_num),于是有0 ≤ style_num ≤ jiang_num

此时可分出203种情况:

203种分类的元素数量

(注意不存在 jiang_num-bing_num-style_num = 7-0-0 ,即七竖将的情况)

定义:群是有限个不同布局的集合,该集合中全部布局都可以由其中任一布局经过有限次移动得到;

性质1:任意一个布局无论如何移动,其结果仍在该群内;

性质2:只需群中任意一个布局,即可复原出群中的所有元素;

性质3:群是封闭的,群中所有元素无序且互异,同时构成一个关系网;

统计:29334498种布局可拆分出25422个群,其中元素数量存在两极分化现象;一般情况下,布局的空格增加,其所在群的数量会急剧上升;

群的数量统计

按群继续分类

对于一个特定的 jiang_num-bing_num-style_num 分组,可拆分出n个群;将分出的群按元素数量从大到小排列,若存在元素数量相同的群,则取其中的最小元素排序;对这些群进行编号得0 ~ (n - 1) 共n个群,编号记为group_num;

因而对于某一群,存在一个唯一编号 jiang_num-bing_num-style_num-group_num ;由于群中的元素个数是确定的,将其中的元素按编码从小到大排列,其中的元素可得唯一编号group_index;

所以,对于任意布局,可得唯一编号 jiang_num-bing_num-style_num-group_num-group_index

群包含的元素数量统计

层级关系

基本定义

最少步数:当布局A和布局B处于同一个群时,从布局A移动到B所需最少的步数,该数值存在且是确定的;

性质:布局A到B的最少步数与布局B到A的最少步数必定相同;

最短路径:从布局A到布局B,所有满足最少步数的路径(最少路径可能不止一条);

最远步数:布局A到它所在群中任一布局均存在一最少步数,其中最大的最少步数称为最远步数;

最远布局:布局A到布局B的最少步数为最远步数时,称布局B为布局A的最远布局(一般情况下不止一个);

(标准华容道中不存在最远布局退化的情况,即最远步数至少为1)

最少步解:布局A所在群中存在一布局S,满足2 x 2方块在棋盘的最下方中间(即2 x 2块所在位置编号为13,亦或编码以D开头),记A到S的最少步数为n,此时不存在其他任何满足以上条件的S‘使得最少步数小于n,则称S为布局A的最少步解,n为最少步解的步数(亦简称为最少步);

:布局A所在群中存在一布局S满足2 x 2方块在棋盘的最下方中间,且有A到S的任意最短路径中均不存在符合2 x 2方块在棋盘的最下方中间的布局,此时称S为布局A的解;

性质:布局的解可能是空集;最少步解属于解的子集(特定条件下两者可以相同);

层模型

表述:存在一起始布局A,从它开始衍生出有限个布局,每个布局抽象为一个节点,同时称A为根节点;由于任一由A衍生出布局到根节点存在一个确定的最少步数,将其称之为到根节点的距离;将所有距离相同的布局称为一个层,层内元素无序且互异,根节点所在层称为第0层,之后依次排列可得有限个层;

记排列的最后一层为第n层,则共有n + 1个层(包括第0层);

性质1:所有层中的元素集合即为根节点所在的群;

性质2:某一节点所在层数为其到根节点的最少步数;

性质3:若最后一层为第n层,则最远步数为n,且第n层的所有元素均为最远布局;

网模型

未完待续...