This is a database project containing all klotski cases.
You can not select more than 25 topics Topics must start with a letter or number, can include dashes ('-') and can be up to 35 characters long.

254 lines
8.9 KiB

4 years ago
## 华容道布局
### 合法布局定义
+ 棋盘大小为4 x 5
+ 棋子为2 x 2,2 x 1(1 x 2),1 x 1三种
+ 棋子间不能重叠,且至少存在两个空格
+ 有且仅有一个2 x 2块,其他类型不限定
*(合法的布局必须满足以上四点)*
合法华容道布局共有29334498种
### 标准情况与非标准情况
标准布局:存在5个2 x 1(或1 x 2)和4个1 x 1棋子的合法华容道布局(363480种)
非标准布局:除标准布局外的全部合法华容道布局(28971018种)
### 合法布局举例:
4 years ago
![legal_1+2](./images/legal_1+2.png)
4 years ago
4 years ago
![legal_3+4](./images/legal_3+4.png)
4 years ago
### 非法布局举例:
4 years ago
![illegal_1+2](./images/illegal_1+2.png)
4 years ago
4 years ago
![illegal_3+4](./images/illegal_3+4.png)
4 years ago
**错误原因:**
+ 缺少2 x 2块
+ 仅有一个空格
+ 存在两个2 x 2块
+ 存在3 x 1块
4 years ago
## 棋子移动
4 years ago
4 years ago
+ 移动原则:棋子只能平行移动,不能进行旋转,移动后棋子间不可重叠;
4 years ago
4 years ago
+ **一步**:某一棋子做任意次移动的过程;
4 years ago
4 years ago
+ **子布局**:某一布局通过一步移动得到的布局称为子布局;
4 years ago
+ **相邻布局**:两布局互为对方子布局时,两者为相邻布局;
性质:若布局A是布局B的子布局,则同时必有布局B是布局A的子布局;
### 步的举例
4 years ago
![step_eg_1.png](./images/step_eg_1.png)
4 years ago
4 years ago
![step_eg_2.png](./images/step_eg_2.png)
4 years ago
4 years ago
![step_eg_3.png](./images/step_eg_3.png)
4 years ago
## 群
定义:群是有限个不同布局的集合,该集合中全部布局都可以由其中任一布局经过有限次移动得到;
性质1:群中任意一个布局无论如何移动,其结果仍在该群内;
性质2:只需群中任意一个布局,即可复原出群中的所有元素;
性质3:群是封闭的,群中所有元素无序且互异,同时构成一个关系网;
统计:29334498种布局可拆分出25422个群,其中元素数量存在两极分化现象;
[群的数量统计](./group_num.md)
4 years ago
4 years ago
### 群的种子
定义:群中任意一个布局称为该群的种子;
由上文性质2可知,群中任一布局进过多次移动可复原出整个群,故描述一个群仅需其中一个布局,常取其中编码最小的布局进行记录;
4 years ago
[25422个群的种子](../res/seed.zip)
4 years ago
## 分类
### 布局id
合法布局共有29334498种,将它们从小到大排列,进而得到唯一的id(0 ~ 29334497);
### 摆列方式分类
**2 x 1 与 1 x 2的数量**
将2 x 1(1 x 2)的数量称为jiang_num;
由于至少存在两个空格,于是有`0 ≤ jiang_num ≤ 7`
可分为七种情况:
| jiang_num | COUNT |
| :-: | :-: |
| 0 | 786228 |
| 1 | 4190464 |
| 2 | 8729454 |
| 3 | 9090662 |
| 4 | 4995328 |
| 5 | 1381224 |
| 6 | 157630 |
| 7 | 3508 |
**1 x 1块的数量**
将1 x 1的数量称为bing_num,结合jiang_num进行分类;
由于至少存在两个空格,于是有`0 ≤ bing_num ≤ (14 - jiang_num * 2)`
据此可分为64种情况:
[64种分类的元素数量](./jiang_bing_count.md)
**2 x 1与1 x 2块的方向**
进而,将2 x 1块的数量称为style_num,则1 x 2块的数量为(jiang_num - style_num),于是有`0 ≤ style_num ≤ jiang_num`
此时可分出203种情况:
[203种分类的元素数量](./style_count.md)
(注意不存在 *jiang_num-bing_num-style_num = 7-0-0* ,即七竖将的情况)
4 years ago
### 按群继续分类
4 years ago
4 years ago
对于一个特定的 *jiang_num-bing_num-style_num* 分组,可拆分出n个群;将分出的群按元素数量从大到小排列,若存在元素数量相同的群,则取其中的最小元素排序;对这些群进行编号得0 ~ (n - 1) 共n个群,编号记为group_num;
4 years ago
4 years ago
因而对于某一群,存在一个唯一编号 *jiang_num-bing_num-style_num-group_num* ;由于群中的元素个数是确定的,将其中的元素按编码从小到大排列,其中的元素可得唯一编号group_index;
4 years ago
4 years ago
所以,对于任意布局,可得唯一编号 *jiang_num-bing_num-style_num-group_num-group_index*
4 years ago
4 years ago
[群包含的元素数量统计](./group_size.md)
4 years ago
4 years ago
## 基本参数定义
4 years ago
4 years ago
**最少步数**:布局A和布局B处于同一个群,从布局A移动到B所需最少的步数,该数值存在且是确定的;
4 years ago
4 years ago
性质1:布局A到B的最少步数与布局B到A的最少步数必定相同;
4 years ago
4 years ago
性质2:若两布局不在同一个群中,则最少步数不存在;
4 years ago
4 years ago
**最短路径**:从布局A到布局B,所有满足最少步数的路径;
4 years ago
4 years ago
性质:最短路径在大多数情况下不止一条,且它们之间会相互交错,一般绘制多点层级路线图进行研究;
4 years ago
4 years ago
**最远步数**:布局A到它所在群中任一布局均存在一最少步数n,其中最大的n称为`最远步数`;
4 years ago
4 years ago
性质:标准华容道中不存在最远布局退化的情况,即最远步数至小为1;
4 years ago
4 years ago
**最远布局**:布局A到布局B的最少步数为`最远步数`时,称布局B为布局A的`最远布局`;
4 years ago
4 years ago
性质:最远布局必然存在,且大多数情况下不止一个;
4 years ago
4 years ago
> 下称满足2 x 2方块在棋盘的最下方中间的布局拥有特征S(即2 x 2块所在位置编号为13,亦或编码以D开头);
4 years ago
4 years ago
**布局无解**:布局A所在群中不存在满足`特征S`的布局;
4 years ago
4 years ago
**解**:布局A所在的群中存在布局T满足`特征S`,且布局A到T的任何最短路径上不存在满足`特征S`的节点,则称布局T为A的一个解;
4 years ago
4 years ago
**最少步解的步数**:若布局存在解,布局A到解的最少步数为n,其中最小的n称为`最少步解的步数`;
4 years ago
4 years ago
**最少步解**:布局A的所有解中满足步数为`最少步解的步数`的布局,称为`最少步解`;
4 years ago
4 years ago
性质1:布局的解可能是空集;
性质2:最少步解属于解的子集,满足`(最少步解的个数) ≤ (解的个数)`;
4 years ago
4 years ago
## 层级关系
### 层模型
表述:存在一起始布局A,从它开始衍生出有限个布局,每个布局抽象为一个节点,同时称A为根节点;由于任一由A衍生出布局到根节点存在一个确定的最少步数,将其称之为到根节点的距离;将所有距离相同的布局称为一个层,层内元素无序且互异,根节点所在层称为第0层,之后依次排列可得有限个层;记排列的最后一层为第n层,则共有n + 1个层(包括第0层);
4 years ago
性质1:所有层中的元素集合即为根节点所在的群;
4 years ago
性质2:第a层节点的子布局必定在第a - 1层,第a层或第a + 1层,其中a满足`1 ≤ a ≤ (n - 1)`;第0层的子布局必定在第1层;第n层的子布局必定在第n - 1层或第n层;
**层间联系**:若第a + 1层中存在第a层的子布局,则将两者链接起来,其中a满足`0 ≤ a ≤ (n - 1)`;
**向后传播**:在第a层存在一节点K,在第a + 1层取得其子布局K'(0个及以上),再将每个K'在第a + 2层取得K''(0个及以上),以此类推得到分层的有限个布局,这个过程称为`向后传播`;
**向前查找**:在第a层存在一节点J,在第a - 1层取得其子布局J'(1个及以上),再将每个J'在第a - 2层取得J''(1个及以上),以此类推直到第0层的根节点,查找的数据即为节点J到根节点的全部最短路径合集,这个过程称为`向前查找`;
4 years ago
4 years ago
### 各参数在层模型中的体现
**最少步数**:某一节点所在层数为其到根节点的最少步数;
**最短路径**:对某一节点做`向前查找`,即可得到最短路径的合集;
**最远步数**:若共有n + 1层,则最远步数为n;
**最远布局**:最后一层的全部节点均为最远布局;
> 下方特征S的定义与上文一致,且下列讨论均为根节点有解的情况
**最少步解的步数**:第一次出现满足特征S的节点所在层数;
**最少步解**:在层数为`最少步解的步数`的层中,全部满足特征S的节点;
**解**
定义1:对满足特征S的节点`向前查找`,若得到的结果不存在任何满足特征S的节点,则该节点称为根节点的`解`;
定义2:对全部`最少步解`进行`向后传播`,将得到的结果进行标记;再向后逐层查找,若有满足特征S且未被标记的节点记为`解`,并进行`向后传播`,以此类推直到最后一层;整个过程得到的`解`与`最少步解`的集合称为根节点的`解`;
4 years ago
### 网模型
4 years ago
表述:网模型针对一个群,群中每一个布局称为节点,将每个节点与其子布局节点连接起来,整个群即可连成一个网状模型;
性质1:可在网模型中抽象出层模型及其层间连接;
性质2:层模型的节点等同于网模型,但节点间的连接是网模型的一个子集;
应用:选定网模型中的一个节点,可据此直接构建出该节点对应得层模型;