基本定义

华容道布局

• 棋盘大小为4 x 5

• 棋子为2 x 2，2 x 1（1 x 2），1 x 1三种

• 棋子间不能重叠，且至少存在两个空格

• 有且仅有一个2 x 2块，其他类型不限定

  （一个合法的华容道布局必须满足以上四点）

  合法华容道布局共有29334498种

合法布局举例：

非法布局举例：

错误原因：

• 缺少2 x 2块

• 仅有一个空格

• 存在两个2 x 2块

• 存在3 x 1块

布局间的关系

• 移动原则：棋子只能平行移动，不能进行旋转；

• 一步：某一棋子做任意步移动后的结果；

• 子布局：某一布局通过一步移动可以得到的布局称为子布局；

• 性质：布局A是布局B的子布局，同时必有布局B是布局A的子布局；

• 相邻布局：两布局互为对方子布局时，两者为相邻布局；

步的举例

标准情况

标准布局：存在5个2 x 1（或1 x 2），4个1 x 1棋子的合法华容道布局（363480种）

非标准布局：除标准布局外的全部合法华容道布局（28971018种）

编码

合法华容道均有编码，长度9位，每一位是单个16进制数（0~9与A~F）；同一布局只能有唯一编码，同一编码亦对应唯一布局，即编码与布局一一对应；

位置编号

2 x 2棋子的左上角在棋盘中的位置编号有12种情况，对应编码分别为：0、1、2、4、5、6、8、9、A(10)、C(12)、D(13)、E(14)，将其置于编码第一位；剩余8位十六进制位储存其他棋子信息。

其余棋子（空格此时暂时视为棋子）按从左到右，从上到下的顺序排列（取左上角排序）

它们对应的代号（二进制）如下：

棋子类型	代号
空格	00
1 x 2	01
2 x 1	10
1 x 1	11

十六进制可按位转为二进制，对应关系如下：

十六进制	二进制	十进制
0	0000	0
1	0001	1
2	0010	2
3	0011	3
4	0100	4
5	0101	5
6	0110	6
7	0111	7
8	1000	8
9	1001	9
A	1010	10
B	1011	11
C	1100	12
D	1101	13
E	1110	14
F	1111	15

8个十六进制位相当于32个二进制位，由于每个棋子占用2个二进制位，因此最多储存16个棋子信息；将其依次填入，若有空余则补0填；按此操作即可将布局转化为编码，规定编码最后的0可以省略。

编码举例

例1：

2 x 2	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	补0
0001	10	10	10	01	10	11	11	11	00	00	11	00	00	00	00	00
1	A		9		B		F		0		C		0		0

因此，布局编码为1A9BF0C00，可简写为1A9BF0C

例2：

2 x 2	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	补0
0100	11	11	11	10	10	10	00	01	00	11	01	00	00	00	00	00
4	F		E		A		1		3		4		0		0

因此，布局编码为4FEA13400，可简写为4FEA134

例3：

2 x 2	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	补0
0101	11	01	11	00	00	00	00	10	11	11	10	00	00	00	00	00
5	D		C		0		2		F		8		0		0

因此，布局编码为5DC02F800，可简写为5DC02F8

分类

由于共有29334498种布局，将它们从小到大排列，进而得到唯一的id(0 ~ 29334497)；

摆列方式分类

将2 x 1（1 x 2）的数量称为jiang_num，1 x 1的数量称为bing_num；

据此可分为64种情况，统计如下：

jiang_num	bing_num	数量
0	0	12
0	1	192
0	2	1440
0	3	6720
0	4	21840
0	5	52416
0	6	96096
0	7	137280
0	8	154440
0	9	137280
0	10	96096
0	11	52416
0	12	21840
0	13	6720
0	14	1440
1	0	256
1	1	3584
1	2	23296
1	3	93184
1	4	256256
1	5	512512
1	6	768768
1	7	878592
1	8	768768
1	9	512512
1	10	256256
1	11	93184
1	12	23296
2	0	2138
2	1	25656
2	2	141108
2	3	470360
2	4	1058310
2	5	1693296
2	6	1975512
2	7	1693296
2	8	1058310
2	9	470360
2	10	141108
3	0	8974
3	1	89740
3	2	403830
3	3	1076880
3	4	1884540
3	5	2261448
3	6	1884540
3	7	1076880
3	8	403830
4	0	20224
4	1	161792
4	2	566272
4	3	1132544
4	4	1415680
4	5	1132544
4	6	566272
5	0	24232
5	1	145392
5	2	363480
5	3	484640
5	4	363480
6	0	14330
6	1	57320
6	2	85980
7	0	3508

进而，将2 x 1的数量称为style_num，于是有style_num恒小于或等于jiang_num；

此时可分出203种情况（注意不存在 jiang_num-bing_num-style_num = 7-0-0 的情况）：

203种分类的元素数量

群

定义：群是有限个不同布局的集合，该集合中全部布局都可以由其中任一布局经过有限次移动得到；

性质：任意一个布局无论如何移动，其结果仍在该群内；

构造：群是封闭的，群中所有元素无序且互异，同时构成一个关系网；

最简性：只需群中任意一个布局，即可复原出群中的所有元素；

按群继续分类

对于一个特定的 jiang_num-bing_num-style_num 分组，可拆分出n个群；将分出的群按元素数量从大到小排列，若存在元素数量相同的群，则取其中的最小元素排序；对这些群进行编号得0 ~ (n - 1) 共n个群，编号记为group_num；

因而对于某一群，存在一个唯一编号 jiang_num-bing_num-style_num-group_num ；由于群中的元素个数是确定的，将其中的元素按编码从小到大排列，其中的元素可得唯一编号group_index；

所以，对于任意布局，可得唯一编号 jiang_num-bing_num-style_num-group_num-group_index；

层级关系

最少步数：当布局A和布局B处于同一个群时，从布局A移动到B所需最少的步数，该数值存在且是确定的；

性质：布局A到B的最少步数与布局B到A的最少步数必定相同；

最短路径：从布局A到布局B，所有满足最少步数的路径（最少路径可能不止一条）；

最远步数：布局A到它所在群中任一布局均存在一最少步数，其中最大的最少步数称为最远步数；

最远布局：布局A到布局B的最少步数为最远步数时，称布局B为布局A的最远布局（一般情况下不止一个）；

（标准华容道中不存在最远布局退化的情况，即最远步数至少为1）

最少步解：布局A所在群中存在一布局S，满足2 x 2方块在棋盘的最下方中间（即2 x 2块所在位置编号为13，亦或编码以D开头），记A到S的最少步数为n，此时不存在其他任何满足以上条件的S‘使得最少步数小于n，则称S为布局A的最少步解，n为最少步解的步数（亦简称为最少步）；

解：布局A所在群中存在一布局S满足2 x 2方块在棋盘的最下方中间，且有A到S的任意最短路径中均不存在符合2 x 2方块在棋盘的最下方中间的布局，此时称S为布局A的解；

性质：布局的解可能是空集；最少步解属于解的子集（特定条件下两者可以相同）；

层模型

表述：存在一起始布局A，从它开始衍生出有限个布局，每个布局抽象为一个节点，同时称A为根节点；由于任一由A衍生出布局到根节点存在一个确定的最少步数，将其称之为到根节点的距离；将所有距离相同的布局称为一个层，层内元素无序且互异，根节点所在层称为第0层，之后依次排列可得有限个层；

记排列的最后一层为第n层，则共有n + 1个层（包括第0层）；

性质1：所有层中的元素集合即为根节点所在的群；

性质2：某一节点所在层数为其到根节点的最少步数；

性质3：若最后一层为第n层，则最远步数为n，且第n层的所有元素均为最远布局；