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430 lines
11 KiB

4 years ago
## 基本定义
### 华容道布局
+ 棋盘大小为4 x 5
+ 棋子为2 x 2,2 x 1(1 x 2),1 x 1三种
+ 棋子间不能重叠,且至少存在两个空格
+ 有且仅有一个2 x 2块,其他类型不限定
*(一个合法的华容道布局必须满足以上四点)*
合法华容道布局共有29334498种
### 合法布局举例:
4 years ago
<img src="/images/legal_1+2.png" alt="legal_1+2" style="zoom: 40%;" />
<img src="/images/legal_3+4.png" alt="legal_3+4" style="zoom: 40%;" />
4 years ago
### 非法布局举例:
4 years ago
<img src="/images/illegal_1+2.png" alt="illegal_1+2" style="zoom: 40%;" />
<img src="/images/illegal_3+4.png" alt="illegal_3+4" style="zoom: 40%;" />
4 years ago
4 years ago
**错误原因:**
+ 缺少2 x 2块
+ 仅有一个空格
+ 存在两个2 x 2块
+ 存在3 x 1块
4 years ago
### 布局间的关系
+ 移动原则:棋子只能平行移动,不能进行旋转;
+ **一步**:某一棋子做任意步移动后的结果;
+ **子布局**:某一布局通过一步移动可以得到的布局称为子布局;
4 years ago
+ 性质:布局A是布局B的子布局,同时必有布局B是布局A的子布局;
4 years ago
+ **相邻布局**:两布局互为对方子布局时,两者为相邻布局;
### 步的举例
4 years ago
<img src="/images/step_exp_1.png" alt="step_exp_1" style="zoom: 40%;" />
4 years ago
4 years ago
<img src="/images/step_exp_2.png" alt="step_exp_2" style="zoom:40%;" />
4 years ago
4 years ago
<img src="/images/step_exp_3.png" alt="step_exp_3" style="zoom:40%;" />
4 years ago
### 标准情况
标准布局:存在5个2 x 1(或1 x 2),4个1 x 1棋子的合法华容道布局(363480种)
非标准布局:除标准布局外的全部合法华容道布局(28971018种)
### 编码
4 years ago
合法华容道均有编码,长度9位,每一位是单个16进制数(0\~9与A\~F);同一布局只能有唯一编码,同一编码亦对应唯一布局,即编码与布局一一对应;
4 years ago
**位置编号**
4 years ago
<img src="/images/address.png" alt="address" style="zoom: 40%;" />
4 years ago
2 x 2棋子的左上角在棋盘中的位置编号有12种情况,对应编码分别为:0、1、2、4、5、6、8、9、A(10)、C(12)、D(13)、E(14),将其置于编码第一位;剩余8位十六进制位储存其他棋子信息。
其余棋子(空格此时暂时视为棋子)按从左到右,从上到下的顺序排列(取左上角排序)
它们对应的代号(二进制)如下:
| 棋子类型 | 代号 |
4 years ago
| :-: | :-: |
4 years ago
| 空格 | 00 |
| 1 x 2 | 01 |
| 2 x 1 | 10 |
| 1 x 1 | 11 |
十六进制可按位转为二进制,对应关系如下:
| 十六进制 | 二进制 | 十进制 |
4 years ago
| :-: | :-: | :-: |
4 years ago
| 0 | 0000 | 0 |
| 1 | 0001 | 1 |
| 2 | 0010 | 2 |
| 3 | 0011 | 3 |
| 4 | 0100 | 4 |
| 5 | 0101 | 5 |
| 6 | 0110 | 6 |
| 7 | 0111 | 7 |
| 8 | 1000 | 8 |
| 9 | 1001 | 9 |
| A | 1010 | 10 |
| B | 1011 | 11 |
| C | 1100 | 12 |
| D | 1101 | 13 |
| E | 1110 | 14 |
| F | 1111 | 15 |
8个十六进制位相当于32个二进制位,由于每个棋子占用2个二进制位,因此最多储存16个棋子信息;将其依次填入,若有空余则补0填;按此操作即可将布局转化为编码,规定编码最后的0可以省略。
**编码举例**
4 years ago
4 years ago
**例1:**
4 years ago
<img src="/images/code_exp_1.png" alt="exp-1A9BF0C00" style="zoom: 60%;" />
4 years ago
<table style="text-align: center">
<tr>
<td>2 x 2</td>
<td>1</td>
<td>2</td>
<td>3</td>
<td>4</td>
<td>5</td>
<td>6</td>
<td>7</td>
<td>8</td>
<td>9</td>
<td>10</td>
<td>11</td>
<td colspan="5">补0</td>
</tr>
<tr>
<td>0001</td>
<td>10</td>
<td>10</td>
<td>10</td>
<td>01</td>
<td>10</td>
<td>11</td>
<td>11</td>
<td>11</td>
<td>00</td>
<td>00</td>
<td>11</td>
<td>00</td>
<td>00</td>
<td>00</td>
<td>00</td>
<td>00</td>
</tr>
<tr>
<td><b>1</b></td>
<td colspan="2"><b>A</b></td>
<td colspan="2"><b>9</b></td>
<td colspan="2"><b>B</b></td>
<td colspan="2"><b>F</b></td>
<td colspan="2"><b>0</b></td>
<td colspan="2"><b>C</b></td>
<td colspan="2"><b>0</b></td>
<td colspan="2"><b>0</b></td>
</tr>
</table>
4 years ago
因此,布局编码为<b>1A9BF0C00</b>,可简写为<b>1A9BF0C</b>
4 years ago
**例2:**
4 years ago
<img src="/images/code_exp_2.png" alt="exp-4FEA13400" style="zoom: 60%;" />
4 years ago
<table style="text-align: center">
<tr>
<td>2 x 2</td>
<td>1</td>
<td>2</td>
<td>3</td>
<td>4</td>
<td>5</td>
<td>6</td>
<td>7</td>
<td>8</td>
<td>9</td>
<td>10</td>
<td>11</td>
<td colspan="5">补0</td>
</tr>
<tr>
<td>0100</td>
<td>11</td>
<td>11</td>
<td>11</td>
<td>10</td>
<td>10</td>
<td>10</td>
<td>00</td>
<td>01</td>
<td>00</td>
<td>11</td>
<td>01</td>
<td>00</td>
<td>00</td>
<td>00</td>
<td>00</td>
<td>00</td>
</tr>
<tr>
<td><b>4</b></td>
<td colspan="2"><b>F</b></td>
<td colspan="2"><b>E</b></td>
<td colspan="2"><b>A</b></td>
<td colspan="2"><b>1</b></td>
<td colspan="2"><b>3</b></td>
<td colspan="2"><b>4</b></td>
<td colspan="2"><b>0</b></td>
<td colspan="2"><b>0</b></td>
</tr>
</table>
4 years ago
因此,布局编码为<b>4FEA13400</b>,可简写为<b>4FEA134</b>
4 years ago
**例3:**
4 years ago
<img src="/images/code_exp_3.png" alt="exp-5DC02F800" style="zoom: 60%;" />
4 years ago
<table style="text-align: center">
<tr>
<td>2 x 2</td>
<td>1</td>
<td>2</td>
<td>3</td>
<td>4</td>
<td>5</td>
<td>6</td>
<td>7</td>
<td>8</td>
<td>9</td>
<td>10</td>
<td>11</td>
<td>12</td>
<td>13</td>
<td colspan="3">补0</td>
</tr>
<tr>
<td>0101</td>
<td>11</td>
<td>01</td>
<td>11</td>
<td>00</td>
<td>00</td>
<td>00</td>
<td>00</td>
<td>10</td>
<td>11</td>
<td>11</td>
<td>10</td>
<td>00</td>
<td>00</td>
<td>00</td>
<td>00</td>
<td>00</td>
</tr>
<tr>
<td><b>5</b></td>
<td colspan="2"><b>D</b></td>
<td colspan="2"><b>C</b></td>
<td colspan="2"><b>0</b></td>
<td colspan="2"><b>2</b></td>
<td colspan="2"><b>F</b></td>
<td colspan="2"><b>8</b></td>
<td colspan="2"><b>0</b></td>
<td colspan="2"><b>0</b></td>
</tr>
</table>
4 years ago
因此,布局编码为<b>5DC02F800</b>,可简写为<b>5DC02F8</b>
## 分类
由于共有29334498种布局,将它们从小到大排列,进而得到唯一的id(0 ~ 29334497);
### 摆列方式分类
将2 x 1(1 x 2)的数量称为jiang_num,1 x 1的数量称为bing_num;
据此可分为64种情况,统计如下:
| jiang_num | bing_num | 数量 |
| :-: | :-: | :-: |
| 0 | 0 | 12 |
| 0 | 1 | 192 |
| 0 | 2 | 1440 |
| 0 | 3 | 6720 |
| 0 | 4 | 21840 |
| 0 | 5 | 52416 |
| 0 | 6 | 96096 |
| 0 | 7 | 137280 |
| 0 | 8 | 154440 |
| 0 | 9 | 137280 |
| 0 | 10 | 96096 |
| 0 | 11 | 52416 |
| 0 | 12 | 21840 |
| 0 | 13 | 6720 |
| 0 | 14 | 1440 |
| 1 | 0 | 256 |
| 1 | 1 | 3584 |
| 1 | 2 | 23296 |
| 1 | 3 | 93184 |
| 1 | 4 | 256256 |
| 1 | 5 | 512512 |
| 1 | 6 | 768768 |
| 1 | 7 | 878592 |
| 1 | 8 | 768768 |
| 1 | 9 | 512512 |
| 1 | 10 | 256256 |
| 1 | 11 | 93184 |
| 1 | 12 | 23296 |
| 2 | 0 | 2138 |
| 2 | 1 | 25656 |
| 2 | 2 | 141108 |
| 2 | 3 | 470360 |
| 2 | 4 | 1058310 |
| 2 | 5 | 1693296 |
| 2 | 6 | 1975512 |
| 2 | 7 | 1693296 |
| 2 | 8 | 1058310 |
| 2 | 9 | 470360 |
| 2 | 10 | 141108 |
| 3 | 0 | 8974 |
| 3 | 1 | 89740 |
| 3 | 2 | 403830 |
| 3 | 3 | 1076880 |
| 3 | 4 | 1884540 |
| 3 | 5 | 2261448 |
| 3 | 6 | 1884540 |
| 3 | 7 | 1076880 |
| 3 | 8 | 403830 |
| 4 | 0 | 20224 |
| 4 | 1 | 161792 |
| 4 | 2 | 566272 |
| 4 | 3 | 1132544 |
| 4 | 4 | 1415680 |
| 4 | 5 | 1132544 |
| 4 | 6 | 566272 |
| 5 | 0 | 24232 |
| 5 | 1 | 145392 |
| 5 | 2 | 363480 |
| 5 | 3 | 484640 |
| 5 | 4 | 363480 |
| 6 | 0 | 14330 |
| 6 | 1 | 57320 |
| 6 | 2 | 85980 |
| 7 | 0 | 3508 |
进而,将2 x 1的数量称为style_num,于是有style_num恒小于或等于jiang_num;
此时可分出203种情况(注意不存在 *jiang_num-bing_num-style_num = 7-0-0* 的情况):
[203种分类的元素数量](./style_count.md)
### 群
4 years ago
定义:群是有限个不同布局的集合,该集合中全部布局都可以由其中任一布局经过有限次移动得到;
性质:任意一个布局无论如何移动,其结果仍在该群内;
4 years ago
4 years ago
构造:群是封闭的,群中所有元素无序且互异,同时构成一个关系网;
4 years ago
最简性:只需群中任意一个布局,即可复原出群中的所有元素;
### 按群继续分类
对于一个特定的 *jiang_num-bing_num-style_num* 分组,可拆分出n个群;将分出的群按元素数量从大到小排列,若存在元素数量相同的群,则取其中的最小元素排序;对这些群进行编号得0 ~ (n - 1) 共n个群,编号记为group_num;
因而对于某一群,存在一个唯一编号 *jiang_num-bing_num-style_num-group_num* ;由于群中的元素个数是确定的,将其中的元素按编码从小到大排列,其中的元素可得唯一编号group_index;
所以,对于任意布局,可得唯一编号 *jiang_num-bing_num-style_num-group_num-group_index*
## 层级关系
4 years ago
**最少步数**:当布局A和布局B处于同一个群时,从布局A移动到B所需最少的步数,该数值存在且是确定的;
性质:布局A到B的最少步数与布局B到A的最少步数必定相同;
**最短路径**:从布局A到布局B,所有满足最少步数的路径(最少路径可能不止一条);
**最远步数**:布局A到它所在群中任一布局均存在一最少步数,其中最大的最少步数称为最远步数;
**最远布局**:布局A到布局B的最少步数为最远步数时,称布局B为布局A的最远布局(一般情况下不止一个);
(标准华容道中不存在最远布局退化的情况,即最远步数至少为1)
**最少步解**:布局A所在群中存在一布局S,满足2 x 2方块在棋盘的最下方中间(即2 x 2块所在位置编号为13,亦或编码以D开头),记A到S的最少步数为n,此时不存在其他任何满足以上条件的S‘使得最少步数小于n,则称S为布局A的最少步解,n为最少步解的步数(亦简称为最少步);
**解**:布局A所在群中存在一布局S满足2 x 2方块在棋盘的最下方中间,且有A到S的任意最短路径中均不存在符合2 x 2方块在棋盘的最下方中间的布局,此时称S为布局A的解;
性质:布局的解可能是空集;最少步解属于解的子集(特定条件下两者可以相同);
**层模型**
表述:存在一起始布局A,从它开始衍生出有限个布局,每个布局抽象为一个节点,同时称A为根节点;由于任一由A衍生出布局到根节点存在一个确定的最少步数,将其称之为到根节点的距离;将所有距离相同的布局称为一个层,层内元素无序且互异,根节点所在层称为第0层,之后依次排列可得有限个层;
记排列的最后一层为第n层,则共有n + 1个层(包括第0层);
性质1:所有层中的元素集合即为根节点所在的群;
性质2:某一节点所在层数为其到根节点的最少步数;
性质3:若最后一层为第n层,则最远步数为n,且第n层的所有元素均为最远布局;
4 years ago