HRD_Database/README.md

## 命令行参数

+ show命令：根据编码输出实际布局样式
```bash
--show <code> [square_width]
    Purpose: Visualize the <code>
    exp: ./engine --show 1A9BF0C00
         ./engine --show 1A9BF0C00 4
```

+ cal命令：计算输入布局的最少步解法
```bash
--cal <code> [file_name]
    Purpose: Find the minimum step solution of <code>
    exp: ./engine --cal 1A9BF0C00
         ./engine --cal 1A9BF0C00 demo.txt
```

+ cal-target命令：计算两布局之间的最短路径
```bash
  --cal-target <code> <target> [file_name]
    Purpose: Find the shortest path from <code> to <target>
    exp: ./engine --cal-target 4FEA13400 43EA73400
         ./engine --cal-target 4FEA13400 43EA73400 demo.txt
```

+ group命令：计算起始布局的所有衍生情况，即计算其所在群的全部元素
```bash
  --group <code> [file_name]
    Purpose: Find all elements of the group where <code> located
    exp: ./engine --group 4FEA13400
         ./engine --group 4FEA13400 demo.txt
```

+ analy命令：分析布局的具体参数，包括层级结构，层间链接，解与最少步解，最远布局等
```bash
  --analy <code> [file_name]
    Purpose: Detailed analysis of the <code>
    exp: ./engine --analy 1A9BF0C00
         ./engine --analy 1A9BF0C00 demo.txt
```

+ analy-quiet命令：同analy命令，但不输出计算过程
```bash
  --analy-quiet <code> <file_name>
    Purpose: The same function as --analy, but doesn't show the specific process
    exp: ./engine --analy-quiet 1A9BF0C00 demo.txt
```

+ analy-group命令：分析`code`衍生出的群中所有元素的具体参数，并输出到`最远布局信息`和`解的信息`两张csv表格中
```bash
  --analy-group <code> <file_name_farthest> <file_name_solution>
    <file_name_farthest>: As the output file of "farthest"
    <file_name_solution>: As the output file of "solution"
    Purpose: Analyze the whole group where <code> located
    exp: ./engine --analy-group 1A9BF0C00 farthest.csv solution.csv
```

+ analy-group-integral命令：同analy-group命令，但`解的信息`中将会输出全部解的编码及步数
```bash
  --analy-group-integral <code> <file_name_farthest> <file_name_farthest>
    Purpose: The same function as --analy-group, but all solution case will be output
    exp: ./engine --analy-group-integral 1A9BF0C00 farthest.csv solution.csv
```

+ analy-multi-group命令：多群组同时分析，相当于多次执行analy-group命令，结果合并输出到`最远布局信息`和`解的信息`两张csv表格中
```bash
  --analy-multi-group <input_file_name> <file_name_farthest> <file_name_farthest>
    <input_file_name>: As the input file of seeds
    <file_name_farthest>: As the output file of "farthest"
    <file_name_farthest>: As the output file of "solution"
    Purpose: Analyze the whole group where each seed located
    exp: ./engine --analy-multi-group 5-4-0.txt farthest.csv solution.csv
```

+ analy-multi-group-integral命令：同analy-multi-group命令，但`解的信息`中将会输出全部解的编码及步数
```bash
  --analy-multi-group-integral <input_file_name> <file_name_farthest> <file_name_farthest>
    Purpose: The same function as --analy-multi-group, but all solution case will be output
    exp: ./engine --analy-multi-group-integral 5-4-0.txt farthest.csv solution.csv
```

+ all命令：找到所有可能的布局，同时得到其分类情况及群组关系，计算结果会输出到All_Case.txt（所有布局的编码），main.csv（所有布局的编码及其分类），\*-\*-\*.txt（各群组的第一个子布局集合）
```bash
  --all
    Purpose: Find all the cases of klotski with detail
    exp: ./engine --all
```

+ all-code命令：简化版的all命令，仅输出全部布局的编码
```bash
  --all-code <file_name>
    Purpose: Find all the code of klotski
    exp: ./engine --all-code All_Case.txt
```

+ help命令：显示所有命令的使用方法
```bash
  --help
    Purpose: Display instructions for use
    exp: ./engine --help
```

## 编译

+ Windows下，要求计算机有mingw环境或其他C/C++编译器

+ Linux下，要求计算机有gcc编译器

+ Android下，可以在termux中安装clang编译器

编译指令
```bash
g++.exe -O3 -c ./src/engine/HRD_analy.cpp -o ./src/engine/HRD_analy.o
g++.exe -O3 -c ./src/engine/HRD_cal.cpp -o ./src/engine/HRD_cal.o
g++.exe -O3 -c ./src/engine/HRD_group.cpp -o ./src/engine/HRD_group.o
g++.exe -O3 -c ./src/engine/HRD_statistic.cpp -o ./src/engine/HRD_statistic.o
g++.exe -O3 -c ./src/engine/main.cpp -o ./src/engine/main.o
g++.exe -o ./engine.exe ./src/engine/HRD_analy.o ./src/engine/HRD_cal.o ./src/engine/HRD_group.o ./src/engine/HRD_statistic.o ./src/engine/main.o
```

或直接使用
```bash
g++ -O3 ./src/engine/*.cpp -o ./engine 
```


## 库的调用

### HRD_cal

描述：华容道快速计算库

+ 判断编码正确性

+ 对起始布局求解（仅返回搜索到的第一个最少步解的一个解法）

+ 找到两布局间最短路径（仅返回搜索到的第一条最短路径）

+ 找到起始布局衍生出的所有情况

使用：包含头文件"HRD_cal.h"，类名为HRD_cal；

示例：

```c++
#include <iostream>
#include <vector>
#include "HRD_cal.h"
using namespace std;

int main() {
    cout << "Klotski fast calculator by Dnomd343" << endl;
    vector <unsigned long long> dat;
    HRD_cal demo;
    
    // 将编码转为文本(参数为unsigned long long 返回string类)
    cout << "4FEA13400 is " << demo.Change_str(0x4FEA13400) << endl;
    cout << "----------------" << endl;

    // 将文本转为编码(参数为*char 返回unsigned long long)
    cout << "1a9bf0c00 is " << hex << demo.Change_int("1A9BF0C00") << dec << endl;
    cout << "----------------" << endl;

    // 检测编码的正确性
    if (demo.Check_Code(0x123456789) == false) {
        cout << "Code error!" << endl;
    }
    
    // 计算最少步数(参数为unsigned long long 返回vector类)
    dat = demo.Calculate(0x1A9BF0C00);
    cout << demo.Change_str(0x1A9BF0C00) << "'s solution";
    cout << " need at least " << dat.size() - 1 << " steps" << endl;
    for (unsigned int i = 0; i < dat.size(); i++) {
        cout << i << ": " << demo.Change_str(dat[i]) << endl;
    }
    cout << "----------------" << endl;

    // 计算到某一布局的最短路径(参数均为unsigned long long 分别为起始编码和目标编码 返回vector类)
    dat = demo.Calculate(0x1A9BF0C00, 0x1ABE70C00);
    cout << demo.Change_str(0x1A9BF0C00) << " to " << demo.Change_str(0x1ABE70C00);
    cout << " need at least " << dat.size() - 1 << " steps" << endl;
    for (unsigned int i = 0; i < dat.size(); i++) {
        cout << i << ": " << demo.Change_str(dat[i]) << endl;
    }
    cout << "----------------" << endl;

    // 计算某一布局衍生出的所有布局
    dat = demo.Calculate_All(0x1A9BF0C00);
    cout << demo.Change_str(0x1A9BF0C00) << " can derive " << dat.size() << " cases" << endl;
    cout << "----------------" << endl;

    return 0;
}
```

### HRD_analy

描述：华容道分析库

+ 编码解析为具体排列

+ 检查编码是否合法

+ 根据起始布局分析出层级结构，包括各层间的链接关系

+ 得到布局的具体参数，包括全部最远布局、全部最少步解、全部合法解及其步数

+ 将分析结果导出到文件

使用：包含头文件"HRD_analy.h"，类名为HRD_analy；

示例：

```c++
#include <iostream>
#include "HRD_analy.h"
using namespace std;

int main() {
    cout << "Klotski Analyser by Dnomd343" << endl;
    HRD_analy demo;

    // 显示编码的实际布局样式
    demo.Output_Graph(0x1A9BF0C00, 4, 1, "&%");

    // 解译编码
    demo.Parse_Code(0x1A9BF0C00);
    cout << "code: " << demo.Change_str(demo.Parse_dat.code) << endl;
    cout << "status" << endl;
    for (int y = 0; y < 5; y++) {
        for (int x = 0; x < 4; x++) {
            if (demo.Parse_dat.status[x][y] <= 9) { // 0 ~ 9
                cout << int(demo.Parse_dat.status[x][y]) << " ";
            } else if (demo.Parse_dat.status[x][y] <= 0xE) { // A ~ E
                cout << char(demo.Parse_dat.status[x][y] + 55) << " ";
            } else if (demo.Parse_dat.status[x][y] == 0xFE) { // space
                cout << ". ";
            } else if (demo.Parse_dat.status[x][y] == 0xFF) { // undefined
                cout << "* ";
            } else { // error
                cout << "! ";
            }
        }
        cout << endl;
    }
    cout << "type" << endl;
    for (int i = 0; i < 15; i++) {
        if (i < 10) {
            cout << i;
        } else {
            cout << char(i + 55);
        }
        cout << " -> ";
        switch (demo.Parse_dat.type[i]) {
            case 0:
                cout << "2 * 2" << endl;
                break;
            case 1:
                cout << "2 * 1" << endl;
                break;
            case 2:
                cout << "1 * 2" << endl;
                break;
            case 3:
                cout << "1 * 1" << endl;
                break;
            default:
                cout << "undefined" << endl;
                break;
        }
    }
    cout << "---------------------------" << endl;

    // 分析布局
    demo.quiet = false; // 输出分析状态
    demo.Analyse_Case(0x1A9BF0C00);
    demo.Output_Detail("demo-1A9BF0C00.txt"); // 输出分析结果到文件
    cout << "---------------------------" << endl;

    // 查看某布局的前后情况
    int layer_num = 29, layer_index = 190;
    // 得到全部父节点
    for (int k = 0; k < (*(*demo.Layer[layer_num][layer_index]).adjacent).source_case.size(); k++) {
        cout << " (" << (*(*(*demo.Layer[layer_num][layer_index]).adjacent).source_case[k]).layer_num;
        cout << "," << (*(*(*demo.Layer[layer_num][layer_index]).adjacent).source_case[k]).layer_index << "):";
        cout << demo.Change_str((*(*(*demo.Layer[layer_num][layer_index]).adjacent).source_case[k]).code);
    }
    cout << " ->";
    cout << " (" << layer_num << "," << layer_index << "):" << demo.Change_str((*demo.Layer[layer_num][layer_index]).code);
    cout << " ->";
    // 得到全部子节点
    for (int k = 0; k < (*(*demo.Layer[layer_num][layer_index]).adjacent).next_case.size(); k++) {
        cout << " (" << (*(*(*demo.Layer[layer_num][layer_index]).adjacent).next_case[k]).layer_num;
        cout << "," << (*(*(*demo.Layer[layer_num][layer_index]).adjacent).next_case[k]).layer_index << "):";
        cout << demo.Change_str((*(*(*demo.Layer[layer_num][layer_index]).adjacent).next_case[k]).code);
    }
    cout << endl;
    cout << "---------------------------" << endl;
    
    return 0;
}
```

### HRD_group

描述：华容道群组批量分析器

+ 搜索某一群组全部元素的具体参数（输入群组中任一布局编码）

+ 排列分析多个群组（输入储存种子编码的文件名）

使用：包含头文件"HRD_group.h"，类名为HRD_group（依赖HRD_cal）；

示例：

```c++
#include <iostream>
#include "HRD_group.h"
using namespace std;

int main() {
    cout << "Klotski batch analyser by Dnomd343" << endl;
    HRD_group demo;
    
    // 计算群组中所有元素的具体参数并输出到文件（此处即计算1A9BF0C00所在群的数据）
    demo.Batch_Analyse(0x1A9BF0C00, "farthest.csv", "solution.csv", true);
    
    // 计算多个群组的分析信息，同时合并输出到文件（编码储存于5-4-0.txt中，最后一行切不可为空）
    demo.Multi_Analyse("5-4-0.txt", "farthest_5-4-0.csv", "solution_5-4-0.csv", true);

    return 0;
}
```

### HRD_statistic

描述：华容道统计器

+ 搜索全部合法的华容道布局编码

+ 计算搜索到编码分类，即各布局的jiang_num-bing_num-style_num-group_num-group_index信息

+ 取各群组的种子编码输出到文件

使用：包含头文件"HRD_statistic.h"，类名为HRD_statistic（依赖HRD_cal与HRD_analy）；

示例：

```c++
#include <iostream>
#include "HRD_statistic.h"
using namespace std;

int main() {
    cout << "Klotski statistician by Dnomd343" << endl;
    HRD_statistic demo;
    
    // 找到全部合法的编码
    demo.Find_All_Case("Output-All_Case.txt");
    
    // 找到全部合法的编码并进行分类输出
    demo.All_Statistic();
    
    return 0;
}
```


## 基本定义

### 华容道布局

+ 棋盘大小为4 x 5

+ 棋子为2 x 2，2 x 1（1 x 2），1 x 1三种

+ 棋子间不能重叠，且至少存在两个空格

+ 有且仅有一个2 x 2块，其他类型不限定

  *（一个合法的华容道布局必须满足以上四点）*

  合法华容道布局共有29334498种

### 合法布局举例：

<img src="/images/legal_1+2.png" alt="legal_1+2" style="zoom: 40%;" />

<img src="/images/legal_3+4.png" alt="legal_3+4" style="zoom: 40%;" />


### 非法布局举例：

<img src="/images/illegal_1+2.png" alt="illegal_1+2" style="zoom: 40%;" />

<img src="/images/illegal_3+4.png" alt="illegal_3+4" style="zoom: 40%;" />

**错误原因：**

+ 缺少2 x 2块

+ 仅有一个空格

+ 存在两个2 x 2块

+ 存在3 x 1块




### 布局间的关系

+ 移动原则：棋子只能平行移动，不能进行旋转；

+ **一步**：某一棋子做任意步移动后的结果；

+ **子布局**：某一布局通过一步移动可以得到的布局称为子布局；

+ 性质：布局A是布局B的子布局，同时必有布局B是布局A的子布局；

+ **相邻布局**：两布局互为对方子布局时，两者为相邻布局；


### 步的举例
<img src="/images/step_exp_1.png" alt="step_exp_1" style="zoom: 40%;" />

<img src="/images/step_exp_2.png" alt="step_exp_2" style="zoom:40%;" />

<img src="/images/step_exp_3.png" alt="step_exp_3" style="zoom:40%;" />


### 标准情况

标准布局：存在5个2 x 1（或1 x 2），4个1 x 1棋子的合法华容道布局（363480种）

非标准布局：除标准布局外的全部合法华容道布局（28971018种）



### 编码

合法华容道均有编码，长度9位，每一位是单个16进制数（0\~9与A\~F）；同一布局只能有唯一编码，同一编码亦对应唯一布局，即编码与布局一一对应；

**位置编号**

<img src="/images/address.png" alt="address" style="zoom: 40%;" />

2 x 2棋子的左上角在棋盘中的位置编号有12种情况，对应编码分别为：0、1、2、4、5、6、8、9、A(10)、C(12)、D(13)、E(14)，将其置于编码第一位；剩余8位十六进制位储存其他棋子信息。

其余棋子（空格此时暂时视为棋子）按从左到右，从上到下的顺序排列（取左上角排序）

它们对应的代号（二进制）如下：

| 棋子类型 | 代号 |
| :-: | :-: |
| 空格 | 00 |
| 2 x 1 | 01 |
| 1 x 2 | 10 |
| 1 x 1 | 11 |

十六进制可按位转为二进制，对应关系如下：

| 十六进制 | 二进制 | 十进制 |
| :-: | :-: | :-: |
| 0 | 0000 | 0 |
| 1 | 0001 | 1 |
| 2 | 0010 | 2 |
| 3 | 0011 | 3 |
| 4 | 0100 | 4 |
| 5 | 0101 | 5 |
| 6 | 0110 | 6 |
| 7 | 0111 | 7 |
| 8 | 1000 | 8 |
| 9 | 1001 | 9 |
| A | 1010 | 10 |
| B | 1011 | 11 |
| C | 1100 | 12 |
| D | 1101 | 13 |
| E | 1110 | 14 |
| F | 1111 | 15 |

8个十六进制位相当于32个二进制位，由于每个棋子占用2个二进制位，因此最多储存16个棋子信息；将其依次填入，若有空余则补0填；按此操作即可将布局转化为编码，规定编码最后的0可以省略。

**编码举例**


**例1：**

<img src="/images/code_exp_1.png" alt="exp-1A9BF0C00" style="zoom: 60%;" />

<table style="text-align: center">
	<tr>
		<td>2 x 2</td>
		<td>1</td>
		<td>2</td>
		<td>3</td>
		<td>4</td>
		<td>5</td>
		<td>6</td>
		<td>7</td>
		<td>8</td>
		<td>9</td>
		<td>10</td>
		<td>11</td>
		<td colspan="5">补0</td>
	</tr>
	<tr>
		<td>0001</td>
		<td>10</td>
		<td>10</td>
		<td>10</td>
		<td>01</td>
		<td>10</td>
		<td>11</td>
		<td>11</td>
		<td>11</td>
		<td>00</td>
		<td>00</td>
		<td>11</td>
		<td>00</td>
		<td>00</td>
		<td>00</td>
		<td>00</td>
		<td>00</td>
	</tr>
	<tr>
		<td><b>1</b></td>
		<td colspan="2"><b>A</b></td>
		<td colspan="2"><b>9</b></td>
		<td colspan="2"><b>B</b></td>
		<td colspan="2"><b>F</b></td>
		<td colspan="2"><b>0</b></td>
		<td colspan="2"><b>C</b></td>
		<td colspan="2"><b>0</b></td>
		<td colspan="2"><b>0</b></td>
	</tr>
</table>
因此，布局编码为<b>1A9BF0C00</b>，可简写为<b>1A9BF0C</b>


**例2：**

<img src="/images/code_exp_2.png" alt="exp-4FEA13400" style="zoom: 60%;" />

<table style="text-align: center">
	<tr>
		<td>2 x 2</td>
		<td>1</td>
		<td>2</td>
		<td>3</td>
		<td>4</td>
		<td>5</td>
		<td>6</td>
		<td>7</td>
		<td>8</td>
		<td>9</td>
		<td>10</td>
		<td>11</td>
		<td colspan="5">补0</td>
	</tr>
	<tr>
		<td>0100</td>
		<td>11</td>
		<td>11</td>
		<td>11</td>
		<td>10</td>
		<td>10</td>
		<td>10</td>
		<td>00</td>
		<td>01</td>
		<td>00</td>
		<td>11</td>
		<td>01</td>
		<td>00</td>
		<td>00</td>
		<td>00</td>
		<td>00</td>
		<td>00</td>
	</tr>
	<tr>
		<td><b>4</b></td>
		<td colspan="2"><b>F</b></td>
		<td colspan="2"><b>E</b></td>
		<td colspan="2"><b>A</b></td>
		<td colspan="2"><b>1</b></td>
		<td colspan="2"><b>3</b></td>
		<td colspan="2"><b>4</b></td>
		<td colspan="2"><b>0</b></td>
		<td colspan="2"><b>0</b></td>
	</tr>
</table>
因此，布局编码为<b>4FEA13400</b>，可简写为<b>4FEA134</b>

**例3：**

<img src="/images/code_exp_3.png" alt="exp-5DC02F800" style="zoom: 60%;" />

<table style="text-align: center">
	<tr>
		<td>2 x 2</td>
		<td>1</td>
		<td>2</td>
		<td>3</td>
		<td>4</td>
		<td>5</td>
		<td>6</td>
		<td>7</td>
		<td>8</td>
		<td>9</td>
		<td>10</td>
		<td>11</td>
		<td>12</td>
		<td>13</td>
		<td colspan="3">补0</td>
	</tr>
	<tr>
		<td>0101</td>
		<td>11</td>
		<td>01</td>
		<td>11</td>
		<td>00</td>
		<td>00</td>
		<td>00</td>
		<td>00</td>
		<td>10</td>
		<td>11</td>
		<td>11</td>
		<td>10</td>
		<td>00</td>
		<td>00</td>
		<td>00</td>
		<td>00</td>
		<td>00</td>
	</tr>
	<tr>
		<td><b>5</b></td>
		<td colspan="2"><b>D</b></td>
		<td colspan="2"><b>C</b></td>
		<td colspan="2"><b>0</b></td>
		<td colspan="2"><b>2</b></td>
		<td colspan="2"><b>F</b></td>
		<td colspan="2"><b>8</b></td>
		<td colspan="2"><b>0</b></td>
		<td colspan="2"><b>0</b></td>
	</tr>
</table>
因此，布局编码为<b>5DC02F800</b>，可简写为<b>5DC02F8</b>



## 分类

由于共有29334498种布局，将它们从小到大排列，进而得到唯一的id(0 ~ 29334497)；



### 摆列方式分类

将2 x 1（1 x 2）的数量称为jiang_num，1 x 1的数量称为bing_num；

据此可分为64种情况，统计如下：

| jiang_num | bing_num | 数量 |
| :-: | :-: | :-: |
| 0 |  0 |      12 |
| 0 |  1 |     192 |
| 0 |  2 |    1440 |
| 0 |  3 |    6720 |
| 0 |  4 |   21840 |
| 0 |  5 |   52416 |
| 0 |  6 |   96096 |
| 0 |  7 |  137280 |
| 0 |  8 |  154440 |
| 0 |  9 |  137280 |
| 0 | 10 |   96096 |
| 0 | 11 |   52416 |
| 0 | 12 |   21840 |
| 0 | 13 |    6720 |
| 0 | 14 |    1440 |
| 1 |  0 |     256 |
| 1 |  1 |    3584 |
| 1 |  2 |   23296 |
| 1 |  3 |   93184 |
| 1 |  4 |  256256 |
| 1 |  5 |  512512 |
| 1 |  6 |  768768 |
| 1 |  7 |  878592 |
| 1 |  8 |  768768 |
| 1 |  9 |  512512 |
| 1 | 10 |  256256 |
| 1 | 11 |   93184 |
| 1 | 12 |   23296 |
| 2 |  0 |    2138 |
| 2 |  1 |   25656 |
| 2 |  2 |  141108 |
| 2 |  3 |  470360 |
| 2 |  4 | 1058310 |
| 2 |  5 | 1693296 |
| 2 |  6 | 1975512 |
| 2 |  7 | 1693296 |
| 2 |  8 | 1058310 |
| 2 |  9 |  470360 |
| 2 | 10 |  141108 |
| 3 |  0 |    8974 |
| 3 |  1 |   89740 |
| 3 |  2 |  403830 |
| 3 |  3 | 1076880 |
| 3 |  4 | 1884540 |
| 3 |  5 | 2261448 |
| 3 |  6 | 1884540 |
| 3 |  7 | 1076880 |
| 3 |  8 |  403830 |
| 4 |  0 |   20224 |
| 4 |  1 |  161792 |
| 4 |  2 |  566272 |
| 4 |  3 | 1132544 |
| 4 |  4 | 1415680 |
| 4 |  5 | 1132544 |
| 4 |  6 |  566272 |
| 5 |  0 |   24232 |
| 5 |  1 |  145392 |
| 5 |  2 |  363480 |
| 5 |  3 |  484640 |
| 5 |  4 |  363480 |
| 6 |  0 |   14330 |
| 6 |  1 |   57320 |
| 6 |  2 |   85980 |
| 7 |  0 |    3508 |

进而，将2 x 1的数量称为style_num，于是有style_num恒小于或等于jiang_num；

此时可分出203种情况（注意不存在 *jiang_num-bing_num-style_num = 7-0-0* 的情况）：

[203种分类的元素数量](./style_count.md)



### 群

定义：群是有限个不同布局的集合，该集合中全部布局都可以由其中任一布局经过有限次移动得到；

性质：任意一个布局无论如何移动，其结果仍在该群内；

构造：群是封闭的，群中所有元素无序且互异，同时构成一个关系网；

最简性：只需群中任意一个布局，即可复原出群中的所有元素；



### 按群继续分类

对于一个特定的 *jiang_num-bing_num-style_num* 分组，可拆分出n个群；将分出的群按元素数量从大到小排列，若存在元素数量相同的群，则取其中的最小元素排序；对这些群进行编号得0 ~ (n - 1) 共n个群，编号记为group_num；

因而对于某一群，存在一个唯一编号  *jiang_num-bing_num-style_num-group_num* ；由于群中的元素个数是确定的，将其中的元素按编码从小到大排列，其中的元素可得唯一编号group_index；

所以，对于任意布局，可得唯一编号 *jiang_num-bing_num-style_num-group_num-group_index*；



## 层级关系

**最少步数**：当布局A和布局B处于同一个群时，从布局A移动到B所需最少的步数，该数值存在且是确定的；

性质：布局A到B的最少步数与布局B到A的最少步数必定相同；

**最短路径**：从布局A到布局B，所有满足最少步数的路径（最少路径可能不止一条）；

**最远步数**：布局A到它所在群中任一布局均存在一最少步数，其中最大的最少步数称为最远步数；

**最远布局**：布局A到布局B的最少步数为最远步数时，称布局B为布局A的最远布局（一般情况下不止一个）；

（标准华容道中不存在最远布局退化的情况，即最远步数至少为1）

**最少步解**：布局A所在群中存在一布局S，满足2 x 2方块在棋盘的最下方中间（即2 x 2块所在位置编号为13，亦或编码以D开头），记A到S的最少步数为n，此时不存在其他任何满足以上条件的S‘使得最少步数小于n，则称S为布局A的最少步解，n为最少步解的步数（亦简称为最少步）；

**解**：布局A所在群中存在一布局S满足2 x 2方块在棋盘的最下方中间，且有A到S的任意最短路径中均不存在符合2 x 2方块在棋盘的最下方中间的布局，此时称S为布局A的解；

性质：布局的解可能是空集；最少步解属于解的子集（特定条件下两者可以相同）；



**层模型**

表述：存在一起始布局A，从它开始衍生出有限个布局，每个布局抽象为一个节点，同时称A为根节点；由于任一由A衍生出布局到根节点存在一个确定的最少步数，将其称之为到根节点的距离；将所有距离相同的布局称为一个层，层内元素无序且互异，根节点所在层称为第0层，之后依次排列可得有限个层；

记排列的最后一层为第n层，则共有n + 1个层（包括第0层）；

性质1：所有层中的元素集合即为根节点所在的群；

性质2：某一节点所在层数为其到根节点的最少步数；

性质3：若最后一层为第n层，则最远步数为n，且第n层的所有元素均为最远布局；